Kaikki mitä kymmenjärjestelmän opettamiseen tarvitaan

Kymmenjärjestelmän opettaminen on yksi olennaisimmista osista matematiikan opetuksessa. Silti iso osa koululaisista rämpii läpi opintonsa ymmärtämättä sitä kunnolla. Kymmenjärjestelmän osaamattomuus tulee väistämättä näkyviin peruslaskutoimituksissa, desimaalilukujen ymmärtämisessä ja mittayksiköiden hahmottamisessa ja muunnoksissa.

Kymmenjärjestelmän hallinta on usein muistinvaraista: monet muistavat, että 100 senttimetriä on sama kuin yksi metri, tai 10 desilitraa on sama kuin 1 litra. Silti, jos tämä tieto on muistinvaraista eikä perustu kymmenjärjestelmän ymmärtämiseen, oppilaat eivät osaa antaa vastausta, kun kysytään kuinka monta metriä on yksi senttimetri (1 cm = 0,01 m) tai kuinka monta litraa on yksi desilitra (1 dl = 0,1 l), vaikka vastaukset pystyisi helposti johtamaan aiemman tiedon perusteella, jos vain ymmärtäisi, miten kymmenjärjestelmä toimii.

ELLIn valikoiman “pihvi” on asioiden konkretisoiminen ja ymmärtävä oppiminen. Niinpä olemme koonneet tähän kirjoitukseen kymmenjärjestelmän opetukseen ja konkretisoimiseen sopivia materiaaleja.

Kymmenjärjestelmävälineet

Kymmenjärjestelmävälineet auttavat kymmenjärjestelmän konkretisoimisessa. Välineet koostuvat:

• kuutiosenttimetrin (1cm*1cm*1cm) kokoisista keltaisista ykköskuutioista, 
• kymmenen ykkökuution (1cm*1 cm*10 cm) kokoisista vihreistä kymppisauvoista,
• sadan ykköskuution tai kymmenen kymppisauvan (1cm*10 cm*10cm) kokoisista sinisistä satalevyistä ja 
• tuhannen ykköskuution, sadan kymppisauvan tai kymmenen satalevyn (10cm*10cm*10cm) kokoisesta punaisesta tuhatkuutiosta.

Kymmenjärjestelmävälineiden (ja myöhemmin myös desimaaliosien) rakenne, eli kymmenestä kuutiosta rakentuu sauva, kymmenestä sauvasta rakentuu levy, ja kymmenestä levystä rakentuu jälleen uusi kuutio, auttaa ymmärtämään eri lukuyksiköiden suhdetta toisiinsa:

• Kun kymmenjärjestelmävälineet on aseteltu kokonsa perusteella suuruusjärjestykseen, niiden avulla on helppo nähdä, että yhtä suurempi väline tai lukuyksikkö on aina kymmenenkertainen, ja yhtä pienempi väline tai lukuyksikkö on aina kymmenesosa valitusta välineestä.
• Samanmuotoiset, mutta eri kokoiset välineet (esim. tuhatkuutio, ykköskuutio ja tuhannesosakuutio ja myöhemmin kuutiometri) ovat aina tuhannesosia toisistaan/tuhatkertaisia toisiinsa nähden. 

Kymmenjärjestelmän lisäksi kymmenjärjestelmävälineet auttavat konkretisoimaan kaikkia peruslaskutoimituksia. Oppilas oppii muuttamaan lukuyksiköitä toisikseen, minkä pohjalta on helppo opettaa, miten esimerkiksi yhteenlaskun, vähennyslaskun ja kertolaskun algoritmien muistinumerot toimivat, kuinka vähennyslaskualgoritmin seuraavasta lukuyksiköstä lainaaminen tai lukuyksikön yli lainaaminen tapahtuu, tai mikä on jakolaskualgoritmin jakojäännös. Lopulta harjoittelun tuloksena oppilas pystyy irtautumaan kymmenjärjestelmävälineiden käytöstä, ja laskemaan peruslaskutoimituksia paperille tai päässään siten, että ymmärtää suorittamiensa laskutoimitusten perusteet.

Kymmenjärjestelmävälineillä harjoittelun tavoitteena on, että oppilas:

• ymmärtää kaksinumeroisten lukujen rakenteen
• kuulee luvut oikein
• osaa yhdistää lukuun oikean mielikuvan (esimerkiksi 4K ja 6Y, eli 46)
• Pystyy hahmottamaan materiaalilla asetellun lukun mielikuvana, eli pystyy työskentelemään kuvitteellisilla välineillä
• osaa kirjoittaa ja lausua luvun oikein
• tunnistaa kirjoitetusta luvusta kymmenet ja ykköset

(Lähde: Matikkaluotsi)

ELLIssä myynnissä olevat kymmenjärjestelmävälineet:

Kymmenjärjestelmävälineiden lisäosat:

Kymmenjärjestelmäalustat

Kymmenjärjestelmäalusta, tai paikkajärjestelmäalusta, auttaa ymmärtämään kymmenjärjestelmän rakennetta: Luvut rakentuvat ykkösistä, kympeistä, satasista, tuhansista, ja niin edelleen, ja toisaalta kymmenesosista, sadasosista, tuhannesosista ja niin edelleen. Kymmenjärjestelmäalustalla on helppo opetella lukujen yhteen- ja vähennyslaskua, monikertoja ja jakamista. Myös käsitteiden kymmenkertainen ja kymmenesosa konkretisointi on helppoa. Lisätietoa kymmenjärjestelmäalustan käytöstä löytyy mm. Matematiikan osaaminen vahvaksi -kirjasta.

ELLIssä on kolme erilaista kymmenjärjestelmäalustaa: A3-kokoinen taitettava kaksipuolinen kymmenjärjestelmäalusta, A3-kokoinen laminoitu kaksipuolinen kymmenjärjestelmäalusta ja kankainen, yksipuolinen kymmenjärjestelmäalusta. Minkä näistä valitsisi?

Kaksipuolisissa kymmenjärjestelmäalustassa voidaan vaihtaa puolta sen mukaan, käytetäänkö laskuissa desimaaliosia. Toisaalta kankaisessa kymmenjärjestelmäalustassa tarpeettomat lukuyksiköt voi taittaa kymmenjärjestelmäalustan alle. Vaikka kankaisenkin kymmenjärjestelmäalustan voi pestä, laminoidut alustat kestävät sotkua paremmin. Toisaalta taiteltava tai kankainen kymmenjärjestelmäalusta on helppo taitella liikkuvassa työssä mukaan, laminoitua kymmenjärjestelmäalustaa ei kannata taitella. Lisäksi kankaisessa kymmenjärjestelmäalustassa on kolme päällekkäistä lokeroa lukuyksiköille, kun A3-kokoisissa niitä on vain kaksi. Riippuu siis käyttötarkoituksesta, mikä kymmenjärjestelmäalusta kannattaa hankkia.

 Kymmenjärjestelmänopat

Kymmenjärjestelmänopissa on luvut 0-9 ja pussin neljä noppaa vastaavat väreiltään kymmenjärjestelmävälineitä. Noppia heittämällä voidaan määritellä, mikä luku kymmenjärjestelmävälineillä rakennetaan. Jos siis heittää kymmenjärjestelmänopilla kuvan mukaiset silmäluvut, pitää kymmenjärjestelmäalustalle rakentaa välineillä luku 7285, eli 7 punaista tuhatta, 2 sinistä satasta, 8 vihreää kymppiä ja 5 keltaista ykköstä. Yhdessä paketissa on neljä kymmenjärjestelmänoppaa: punainen, sininen, vihreä ja keltainen.

Lukukortit

Lukukorteilla voi muodostaa lukuja yhdestä miljoonaan. Lukukortit ykkösistä tuhansiin on merkitty samoilla väreillä kuin kymmenjärjestelmävälineissä. 

Lukukortit ykkösistä tuhansiin näkyvät kokonaisina: tuhansia merkitsevissä korteissa on perässä kolme nollaa, sadoissa kaksi ja kympeissä yksi. Harmaissa miljoonissa on perässä kaksi nollaa, vaaleansinisissä sadoissa tuhansissa yksi ja vaaleanvihreät kymmenet tuhannet on merkitty ilman nollaa.

Lukukortit ovat saatavilla sekä magneettisina että tukevasta pahvista valmistettuina. 

Paikka-arvokortit

Paikka-arvokiekoissa on kuvattu luvut tuhannesosasta miljoonaan. Paketti sisältää 352 kiekkoa, joiden halkaisija on 2,5 cm. Desimaaliluvut on merkitty myös murtolukuina. Paikka-arvokiekoilla voidaan harjoitella kymmenjärjestelmän tärkeintä periaatetta: kymmenen kappaletta yhtä lukuyksikköä vastaa yhtä kappaletta seuraavaa lukuyksikköä. Paikka-arvokiekot sopivat lisävälineeksi kymmenjärjestelmävälineillä tai lukukorteilla työskennellessä.

 

Kymppikehykset

Hajotelmia, kymmeneksitäydentämistä, kymmenylitystä ja -alitusta sekä suurempia lukuja voidaan harjoitella kymppikehyksillä. Pakkauksessa on mukana 16 valkoista kymppikehystä ja 160 niihin sopivaa sinipunakiekkoa. 

Satataulut

Satataulut konkretisoivat lukualuetta 1-100. Niitä käytetään erityisesti lukualueeseen 1-100 tutustuttaessa, peruslaskutoimitusten harjoittelun alkuvaiheessa ja kertotaulujen opettelussa.

Seinälle ripustettava satatasku koostuu sadasta taskusta ja niihin aseteltavista kaksipuolisista korteista. Korteissa on molemmilla puolilla sama luku, mutta toisella puolella luku on kirjoitettu punaisella tekstillä valkoiselle taustalle, ja toisella puolella valkoisella tektsillä punaiselle taustalle. Kääntämällä punaisella taustalla olevan puolen esiin satataulussa voi korostaa vaikkapa mitkä luvut lisäämällä tai vähentämällä saadaan tietty luku, tai mitkä luvut kuuluvat tiettyyn kertotauluun.

Satataskun voi ripustaa seinälle koukkuihin sen yläreunoissa olevista rei’istä. Kevyehkön taulun voi myös teipata seinälle.

Magneettinen satataulu sopii hyvin opettajan työkaluksi magneettitaululle. Sillä voi rakentaa erikseen myös lukualueet 1-10 tai 1-20. Mukana paketissa on sinisiä ja punaisia rinkuloita, joilla voi korostaa lukuja, sekä sinisiä ja punaisia ympyröitä, joilla voi peittää haluamansa luvut. Magneettisella satataululla ja sen mukana tulevilla sinisillä ja punaisilla ympyröillä voi harjoitella myös hajotelmia lukualueella 0-20.

 

Mittayksikkötaulut ja -kortit

Kymmenjärjestelmän puutteellinen hallinta näkyy erityisesti mittayksiköitä käsitellessä. Millit, sentit, desit, kuutiot, hehtot, dekat ja mitä niitä on… Ja ne piti osata vielä tietyssä järjestyksessä. Mittayksikköjenkään kohdalla ei ole varmaan yllätys, että jos mittayksiköt opettelee vaan ulkoa loruina, eikä ymmärrä, että mittayksiköt jos mitkä ovat konkreettisia ja arkielämässä tarvittavia käsitteitä, niin ennemmin tai myöhemmin yksikkömuunnokset menevät metsään, tai siis ainakin väärälle hehtaarille siellä kuuluisassa metsässä.

Mittayksikkötaulut ja -kortit materiaalissa mittayksiköt pituus, massa, tilavuus litroina, pinta-ala, sekä tilavuus kuutiona, liitetään arkielämän tukipisteisiin. Esimerkiksi pinta-alan tukipisteitä ovat sormenjälki (neliösenttimetri), kämmen (neliödesimetri), ikkuna (neliömetri), kasvimaa (aari) ja parkkipaikka (hehtaari), kun taas massan tukipisteitä ovat höyhen (senttigramma), tulitikku (desigramma), rusina (gramma), tikkari (dekagramma), suklaalevy (hehtogramma). Materiaalissa on mittayksikkötaulujen ja -korttien lisäksi mukana ohje, jossa opastetaan, kuinka mittaamisen avulla oppilaille voidaan tarjota omakohtaisia kokemuksia eri mittayksiköistä. ELLIN verkkokaupasta voi myös ladata Hannele Ikäheimon mittayksiköiden osaamista kartoittavat mittayksikkökartoitukset 1 ja 2.

Desimaaliosat

Desimaalilukujen ymmärtäminen on monille hankalaa. Ne tuntuvat vain ikävältä ja abstraktilta sarjalta lukuja pilkun jälkeen. Desimaaliosat konkretisoivat mistä on kyse: kymmesosalevy on oikeasti kymmenesosa kymmenjärjestelmävälineiden keltaisesta ykköskuutiosta. Sadasosasauva on sadasosa keltaisesta ykköskuutiosta ja kymmenesosa kymmenesosalevystä. Pikkiriikkinen tuhatosahippu on tuhannesosa keltaisesta ykköskuutiosta, sadasosa kymmenesosalevystä ja kymmenesosa sadasosasauvasta. Kokeile vaikka itse, jos sorminäppäryytesi riittää!

Desimaaliosat ovat pieniä: kymmenesosat ovat kooltaan 10mm*10mm*1mm, sadasosat 10mm*1mm*1mm ja tuhannesosat 1mm*1mm*1mm.

Koska pienten desimaaliosasten säilyttäminen on hankalaa, ELLI kehitti muovisen rasian, Elliboksin, jossa on jokaiselle desimaaliosalle oma paikkansa. Elliboksissa on oma lokero kymmenesosille, sadasosille ja tuhannesosille. Rasiasta saa tiivin asettamalla valkoisen lokerikon alle ohuen palasen pahvia tai muuta vastaavaa.

Kuutiometrit ja VaNe-neliömetri

Desimaaliosien lisäksi kymmenjärjestelmän hallintaa voidaan laajentaa toiseen suuntaan, eli suurempiin lukuihin neliömetrin ja kuutiometrin avulla.

VaNe-neliömetrissä on mukana kankainen neliömetrin malli, opas neliömetrin kanssa työskentelemiseen ja harjoituksissa tarvittavia kortteja. Oppaan ohjeilla neliömetrin mallia voidaan käyttää:

• pinta-alan
• tilavuuden
• ominaisuuksien
• lukujen ominaisuuksien
• diagrammien
• sataruudukkojen
• murtolukujen
• mittakaavan
• koordinaatiston
• ohjelmoinnillisen ajattelun
• loogisen päättelyn ja
• ongelmanratkaisun opetteluun

Oppaassa on myös muutama vinkki neliömetrillä pelattavista lautapeleistä!

Kun toisiinsa kiinnittyvistä rimoista rakennetaan kuutiometri, oppijat tutustuvat paitsi kuutiometriin, myös arkielämässä yleiseen neliömetrin käsitteeseen. Kuinka monta villakoiraa mahtuu kuutiometriin? (Yksi, jos Korpulta kysytään). Kuutiometrimalleja ELLIssä on myynnissä kaksin kappalein: toisiinsa kiinnittyvä harmaa kuutiometri sekä toisiinsa liitospalasilla kiinnittyvä punainen kuutiometri. Punaisen kuutiometrin osista ja linkkikuutioista voi rakentaa myös kymmentuhatsauvan ja satatuhatlevyn. Ohjeet siihen löydät klikkaamalla oikeanpuoleista kuvaa.

Hannele Ikäheimon kirjat tuovat iloa ja ymmärrystä matematiikan opetukseen ja oppimiseen

Hannele Ikäheimon Matematiikan osaaminen vahvaksi kirja valmistui kesän 2021 alussa. Kirjassa kerrotaan monipuolisesti, kuvian ja sanoin välineiden käytöstä ja erilaisista oppimisen apukeinoista. Opetuskeskusteluista selviää, miten oppilaille puhutaan ja miten käsitteet konkretisoidaan välineillä ja piirtämällä. Kirja auttaa hahmottamaan matematiikan opetuksen ja oppimisen peruslinjat sekä suunnittelemaan opetusta oppilaiden lähtötason pohjalta eri aihepiireistä ja tuntikohtaisesti.

Kirja sekä kirjaan liittyvät kopioitavat materiaalit sisältävä Materiaalikirja muodostavat koulumatematiikan käsikirjapaketin, joka sisältää myös hänen aiemmin julkaistujen (nyt jo loppuunmyytyjen), KYMPPI-kirjansa ja KYMPPI-kartoituksensa sisällöt. Mukana on myös uusi mittayksikkökartoitus.

Jos haluat tietää lisää kymmenjärjestelmän opetuksesta, kannattaa lukea vuonna 2017 Oulun yliopistossa valmistunut Tytti Nissilän gradu “Ei oo sillee aateltu ku lisätään vaan nollia perään eikä siirretä pilkkua”: Kymmenjärjestelmän ja mittayksiköiden muunnosten hallinta peruskoulun kuudennella luokalla.

Kiitos Hannele Ikäheimolle tämän kirjoituksen tarkistamisesta ja täydentämisestä!